Probablemente si pensamos en una disciplina científica bien cimentada y carente de todo cimbreo e inestabilidad, nos venga a la mente, antes que ninguna otra, la matemática. Presente en culturas antiquísimas como Egipto y Mesopotamia, se trata de uno de los pilares sobre los que se ha sustentado la el resto de disciplinas científicas y muchas humanísticas.
Las matemáticas han sido un pilar para sí mismas. Los planteamientos de antiguos matemáticos como Euclides o Pitágoras han seguido formando parte del currículo de todo estudiante de matemáticas hasta la actualidad porque seguían constituyendo la base teórica de las matemáticas más modernas.
Los principios y axiomas de Euclides supusieron, así, la base de lo que conocemos como geometría plana y de la lógica y fueron establecidos en una obra llamada Los elementos, escrita en torno al 300 a. C. El cálculo infinitesimal bebe hoy del pensamiento de Arquímedes (siglo III a. C.), que formuló algunos de los principios de la hidrostática o la mecánica.
Matemáticas y filosofía: un largo matrimonio
No podemos decir que la historia de las matemáticas haya sido un camino fácil, en línea recta y sin saltos abruptos. Más bien al contrario: las matemáticas, al construirse en relación con disciplinas como la filosofía o la física que las han puesto en contacto con una realidad difícilmente reducible a concepto, se han visto inmersas en numerosas crisis y, en palabras del filósofo de la ciencia Thomas Kuhn, «cambios de paradigma».
En realidad, las crisis de la matemáticas no solo han venido provocadas «desde fuera» por la filosofía, sino también desde dentro. De hecho, ambas disciplinas han estado íntimamente unidas. En la antigua Grecia, la filosofía y las matemáticas se consideraban parte de una misma búsqueda de verdad, una filosofía natural que se interrogaba por los principios y el origen del mundo y que veía en la abstracción matemática una puerta de entrada al mundo de las razones.
Esta relación se mantuvo en la Edad Media y en la modernidad, de modo que una parte importante del pensamiento filosófico en torno a la realidad se puso en diálogo con un modelo científico en auge: la máquina. El mundo-máquina pasa a ser así un tópico filosófico en las obras de autores como Descartes, Newton o Bacon.
No es hasta muy avanzada la época moderna cuando las disciplinas comienzan a dividirse formalmente, porque empieza a darse una especialización en las universidades que genera, a su vez, saberes nuevos. Sin embargo, la separación nunca fue definitiva: la relación entre la matemática y disciplinas como la lógica, la teoría de la computación y la filosofía de las matemáticas ha sido permanente.
La lógica matemática sigue siendo hoy fundamental en el desarrollo científico, especialmente en ámbitos como la computación y la inteligencia artificial, que han dado lugar a profundos debates en torno a la naturaleza de la mente y la ética ya planteados en el pensamiento de filósofos como Alan Turing (otro ejemplo de filósofo que también era matemático).
Las matemáticas, al construirse en relación con disciplinas como la filosofía o la física que las han puesto en contacto con una realidad difícilmente reducible a concepto, se han visto inmersas en numerosas crisis y, en palabras de Thomas Kuhn, «cambios de paradigma»
El giro lingüístico y la revolución en la filosofía contemporánea
La crisis de las matemáticas se enmarca dentro de un momento en el que la filosofía también atraviesa un profundo cuestionamiento. El conocido como «giro lingüístico en filosofía» empezaba a ver su origen a principios de siglo XX en el auge del interés por las cuestiones literarias, lingüísticas y relativas a la cognición. Las grandes preguntas (¿qué es el mundo?) se sustituían ahora por otras relativas al conocimiento humano y a la ciencia (¿qué es el conocimiento?, ¿cómo es posible hacer ciencia?).
La crisis, en realidad, venía de largo. No se trataba de que los filósofos ahora centraran su interés en el lenguaje, el conocimiento y la ciencia porque ya no hubiera interés por conocer e interpretar la realidad; era más bien que este segundo objetivo parecía ya inasumible.
Kant había cuestionado, en el siglo XVIII (con un impacto tan perturbador que no terminó de asumirse hasta el XIX), la posibilidad de encontrar respuestas sobre la naturaleza de la realidad. Entendía que la realidad formaba parte de lo nouménico, aquello imposible de conocer para el ser humano porque, precisamente, no se deja captar por los sentidos.
El mundo quedaba dividido, desde Kant, entre aquello que es la realidad «en sí» (lo nouménico, imposible de conocer) y lo que es «para mí» (lo fenoménico). Solo dentro de esta segunda esfera podía darse el verdadero conocimiento.
Desde este momento, la filosofía como metafísica entra en una profunda crisis, de la que ya jamás logrará recuperarse. Es el fin de los grandes sistemas; de aquellos intentos por sistematizar el mundo y subsumirlo en una sola teoría. Junto con la especialización que se está dando en las universidades se empieza a dividir la filosofía en diferentes ámbitos con cada vez menor relación. Es decir, si en la Antigüedad era impensable hacer filosofía sin hacer matemáticas, sin hablar de ciencia, sin referir al conocimiento o a cuestiones éticas, ahora sí existen filósofos y corrientes que se especializan solamente en un ámbito. Es este contexto el que permite la aparición de una reflexión filosófica específica en torno a la ciencia.
Las ciencias en el punto de mira
La reflexión filosófica general en torno a la actividad científica tiene, en realidad, un origen remoto. Platón y Aristóteles reflexionaban ya sobre si las matemáticas eran un descubrimiento humano o, más bien, una invención. Es decir, si forman parte del mundo o de la psique humana: si son objetivas o convencionales. Este es uno de los muchos ejemplos de problemas filosóficos en torno a la ciencia que se han pensado a lo largo de los siglos.
Pero no es hasta el siglo XIX cuando la filosofía de las ciencias empieza a desarrollarse: no solo las matemáticas entran a formar parte del punto de mira; también la física, la biología y la medicina. Y es que, si Kant había mostrado que no es posible explicar el mundo en su totalidad, en su conjunto, en su complejidad, en sí, ¿qué habían hecho las ciencias durante siglos? ¿Cómo es posible haber desarrollado un conocimiento objetivo en torno al mundo si este no fue nunca posible?
La filosofía de las ciencias comienza, por tanto, a poner en cuestión los postulados, los axiomas y los principios en que se han basado estas disciplinas durante siglos. No para demostrar su falsedad, sino para mostrar que son fruto de una serie de decisiones convencionales que se han hecho pasar por universales.
Además, el siglo XIX es el momento en el que surge una nueva teoría en biología, que cuestionará las concepciones religiosas en torno al origen de la vida: el evolucionismo de Darwin. Será también el momento en el que la filosofía instale en su seno una atmósfera de «sospecha» que se expresará en forma de nihilismo, como es el caso del pensamiento de Nietzsche y sus herederos.
Todos estos desarrollos científicos, la explosión técnica que vive todo el mundo con la emergencia del capitalismo y la instalación de esa sospecha de todo lo que parece natural y dado fue el caldo de cultivo perfecto para que el alto edificio que eran las matemáticas comenzara a tambalearse.
La filosofía de las ciencias comienza a poner en cuestión los postulados, los axiomas y los principios en que se han basado estas disciplinas. No para demostrar su falsedad, sino para mostrar que son fruto de una serie de decisiones convencionales que se han hecho pasar por universales
La crisis de las matemáticas: tres momentos
Los desarrollos científicos del siglo XIX terminaron con las matemáticas inmutables e infalibles que se conocían hasta entonces. A comienzos de siglo y como si de una tormenta perfecta se tratase, varios científicos comienzan a desarrollar de manera independiente una geometría que desafiaba los principios establecidos por Euclides, generando así nuevas geometrías.
Por otro lado, a finales de siglo Georg Cantor volvería a generar un intenso debate en la comunidad matemática con la presentación de su teoría de conjuntos, que cuestionaba algunos de los fundamentos clásicos de las matemáticas, por ejemplo al afirmar que existen conjuntos de números infinitos más grandes que otros.
A principios del siglo XX la crisis de las matemáticas se empieza a expresar como tal: los matemáticos admiten que el cuestionamiento es tal que es necesario reevaluar todas las teorías matemáticas vigentes, con un enfoque profundamente filosófico. Entre los filósofos que mayor implicación tuvieron en esta crisis de las matemáticas se encuentran Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, Henri Poincaré, Kurt Gödel y Georg Cantor. Muchos de ellos son, además, considerados como fundadores de la filosofía de las matemáricas actual.
Primera crisis: el fin de la geometría tradicional
Euclides había establecido, como vimos, algunos fundamentos que han sido la base de la geometría a lo largo de los siglos. En concreto, dejó establecidos cinco principios en los que fundamentaba, a su vez, toda la geometría existente. De todos ellos, el quinto postulado se consideró desde la Antigüedad como el más endeble de todos, porque apelaba a una construcción mental abstracta.
Este postulado sostiene que las rectas paralelas nunca se cortan al prolongarlas indefinidamente. A comienzos del siglo XIX se intentó demostrar este postulado por reducción al absurdo; es decir, suponiendo que era falso para ver si así se llegaba a una contradicción. Pero no solo no se llegaba al absurdo, sino que aparecía una posibilidad de construir geometrías distintas a la tradicional donde las rectas paralelas sí se cortaran en algún momento.
La primera formulación de la posibilidad de una geometría así fue planteada por Kant, quien se adelantó a la construcción de la geometría hiperbólica planteada en los años 20 del siglo XX por científicos como Carl Gauss y Nikolái Lobachevski, en la cual los ángulos de un triángulo podían sumar menos de los 180º tradicionales.
A finales del siglo XIX, esta geometría hiperbólica pasó de ser una hipótesis a una geometría tan consistente como la tradicional gracias a los aportes de matemáticos como Eugenio Beltrami y Felix Christian Klein, quienes demostraron su consistencia. Tras la consolidación de esta geometría se propusieron otras «geometrías no euclidianas», como la elíptica.
La primera crisis de las matemáticas fue la aparición de «geometrías no euclidianas», es decir, edificadas obviando uno o varios de los principios establecidos por Euclides
Segunda crisis: infinitos más grandes que otros
Tradicionalmente, cuando se piensa en la crisis de las matemáticas, nos referimos particularmente a la crisis que tuvo que ver con la emergencia de la teoría de conjuntos propuesta por el alemán Georg Cantor y las implicaciones de esta en el panorama científico. La teoría de conjuntos, convertida ya en una rama propiamente dicha de las matemáticas, estudia colecciones de objetos matemáticos (conocidos como «elementos») que comparten propiedades. Son célebremente conocidos los conjuntos numéricos: el de los números reales, naturales, enteros, decimales… Era una teoría que trataba de poner sobre la mesa la necesidad de fundamentar y definir los números reales.
La principal aportación de esta teoría tenía que ver con la noción de cardinalidad. Esta noción hace referencia a la «cantidad» de objetos matemáticos en un conjunto, es decir, a su tamaño. La noción de cardinalidad llevaba a Cantor al descubrimiento de que existen diferentes niveles de finitud en los conjuntos, es decir, que existen conjuntos infinitos que son más grandes que otros: por ejemplo, el de los números reales es más grande que el conjunto de los números naturales.
La teoría de conjuntos de Cantor permitió introducir otra noción en relación al infinito: la de los «números transfinitos». Se trata de una forma de comparar el tamaño de diferentes conjuntos infinitos. Además de mostrar la existencia de diferentes niveles de finitud, la teoría de Cantor permitió descubrir la existencia de conjuntos no numerables por su enorme tamaño.
Aunque a día de hoy la idea de los números transfinitos y la teoría de conjuntos son algunos de los pilares del álgebra, en su momento fueron muy controvertidas y generaron todo tipo de debates. El matemático francés Henri Poincaré, por ejemplo, argumentó que la teoría se basaba más en conceptos intuitivos que en definiciones claras y precisas, descartando así la teoría.
Pero, sin duda, la mayor crítica que tuvo que enfrentar la teoría de Cantor fue la conocida como «paradoja de Russell» y fue propuesta por el filósofo en 1901, aunque el matemático Zermelo la había descubierto apenas unos meses antes. Según esta paradoja, existe una pregunta legítima sobre si podía existir un conjunto compuesto por todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Si existe este conjunto tan singular, ¿podemos considerar que cada conjunto integrante de este mayor es un elemento de sí mismo?
Si la respuesta es afirmativa, entonces se da una contradicción porque un conjunto es y no es una cosa al mismo tiempo. Para Russell, la existencia de este ejemplo era suficiente como para sostener que la teoría de conjuntos no podía ser reducida a axiomas sin incorporar algunas excepciones, tal vez sin descubrir todavía. Sin embargo, esto estimuló la formulación de una nueva teoría de conjuntos (conocida como Zermelo-Fraenkel) que se convirtió en uno de los pilares de las matemáticas contemporáneas y permitió resolver esta y otras paradojas de la teoría de conjuntos original de Cantor.
La segunda crisis de las matemáticas fue generada por la teoría de conjuntos de Cantor, que estableció que existen conjuntos infinitos más grandes que otros y que enfrentó numerosas paradojas y críticas.
Tercera crisis: se abre una brecha en las matemáticas
El desarrollo de estas ideas se enmarcaba dentro de un debate más amplio entre quienes consideraban que las matemáticas debían seguir el firme y recto camino tradicional y quienes, como Cantor, apostaban por una nueva forma de hacer matemática. Pronto se vio que la teoría de conjuntos tenía numerosas aplicaciones y abría nuevas formas de concebir filosóficamente los números y otras entidades matemáticas, lo cual cristalizó en la formación de varias escuelas.
La formación de las escuelas matemáticas, en realidad, había sido un proceso largo desde la década de 1870, pero hasta los años 20 del siglo siguiente no se empezó a conceptualizar de forma explícita la existencia de una escisión o crisis que debía resolverse a favor de alguna de las facciones.
Entre las posturas filosóficas que se disputaban el terreno se encontraban posturas conocidas como platonistas, defendidas por ejemplo, por el lógico y matemático Kurt Gödel, que sostenían que los números y las entidades matemáticas eran abstractas e independientes de la mente. Que existían en algún lugar y tenían realidad. También encontramos formalistas como David Hilbert, el cual consideraba que las matemáticas eran, más bien, un tipo de lenguaje y no una realidad concreta. Por último, los intuicionistas como Brouwer sostenían que las matemáticas eran creaciones mentales que solo existían para quienes pensaban en ellas.
La filosofía volvía a irrumpir en las matemáticas generando en estas diferentes escuelas que correspondían con las filosóficas: formalistas, intuicionistas y logicistas discutían acerca de la naturaleza de los objetos matemáticos.
La tercera crisis de las matemáticas consistió en la formación de nuevas escuelas que mantenían una furibunda relación crítica entre ellas
Conclusiones de esta crisis
La crisis de las matemáticas en sí acabó por cerrarse. El conocido como «programa de Hilbert» fue una primera solución formal al problema. Con este programa, el matemático alemán David Hilbert trató de clarificar, en la década posterior a 1920, los fundamentos de las matemáticas formando un conjunto de axiomas consistentes que fuera finito y completo.
De lo que se trataba con el programa era de dar las condiciones para que las matemáticas no fueran ya un terreno resbaladizo, sino que volvieran a ser el férreo pilar de la ciencia. No obstante, el teorema de incompletitud de Gödel, planteado en 1931, demostró que el objetivo de Hilbert era inalcanzable.
En su primer teorema, mostró que era imposible construir una sentencia verdadera y demostrable que fuera derivada por sus mismas reglas formales o axiomas. En el segundo, sostuvo que un sistema no puede utilizarse para probar la consistencia de nada más allá de sí mismo, lo cual acabó de frustrar este objetivo.
Sin embargo, las matemáticas y las ciencias siguieron adelante. ¿Cómo es posible? La pluralidad de axiomas y la «apertura» que supuso esta crisis de las matemáticas fue, en realidad, un cañonazo en el progreso científico que llega hasta hoy. La teoría de conjuntos contribuyó al desarrollo de la computación y cibernética modernas y los nuevos tipos de geometría ayudaron a explicar multitud de eventos naturales de funcionamiento no-euclidiano, como el crecimiento de las células cancerosas en el cuerpo o de determinados tipos de plantas.
Se mostró así que apostar por hacer ciencia desde la provisionalidad y admitiendo que los axiomas utilizados nunca son eternos era, lejos de un impedimento, una oportunidad. La oportunidad de salir de una caverna de sombras que solo representaba una mínima fracción de las matemáticas posibles para contribuir a fundar una plétora de disciplinas y enfoques nuevos. La crisis de las matemática se tornó así en revolución.
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